כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
סביר להניח שהסיכומים שלי מכילים טעויות רבות - אני מוצא כאלה כל יום (רשימת טעויות נפוצות), אני מפציר בכם לעדכן אותי בכל טעות שאתם מוצאים (ממש כל טעות ללא יוצא מן הכלל); אתם מוזמנים להגיב על המסמכים ב-Google Drive, לשלוח לי דוא“ל או למלא פנייה באתר.
פעולה דו-מקומית (בינארית) היא פעולה המקבלת שני איברים (לאו דווקא שונים) ומחזירה אחד, נאמר שפעולה דו-מקומית מוגדרת על קבוצה אם לכל שני איברים בקבוצה תחזיר הפעולה איבר מן הקבוצה.
1.1 הגדרת שדה
הגדרה 1.1. שדה שדה הוא קבוצה \(\MKfield\) בעלת שני איברים שונים (לכל הפחות) הנקראים "אפס" (יסומן ב-\(0\)) ו-"אחד" (יסומן ב-\(1\)), שעליה מוגדרות שתי פעולות דו-מקומיות הנקראות "חיבור" (תסומן ב-"\(+\)") ו-"כפל" (תסומן ב-"\(\cdot\)"1פעמים רבות כותבים \(ab\) במקום \(a\cdot b\), בסיכומים אלו נמעט בכך כדי לשמור על בהירות התוכן.), כך שמתקיימות9התכונות הבאות (נקראות גם "אקסיומות השדה"):
\(a\cdot\left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)\)2ישנה מוסכמה שמבצעים כפל לפני חיבור ולכן באגף ימין ניתן היה לכתוב \(a\cdot b+a\cdot c\).
\(\clubsuit\)
נשים לב: החיבור והכפל הן פעולות דו-מקומיות, לכן אין דבר כזה חיבור/כפל של שלושה איברים אלא תמיד מחברים/כופלים שניים ואז מחברים/כופלים את התוצאה בשלישי, כלומר המשמעות של \(a+b+c\) היא \(\left(a+b\right)+c\) (קודם מחברים את \(a\) ו-\(b\) ורק אח"כ מחברים לתוצאה את \(c\)).
\(\clubsuit\)
ניתן להוכיח באינדוקציה שלכל פעולה דו-מקומית המקיימת חילוף וקיבוץ אין שום הבדל אם נסדר את האיברים בצורה כזו או אחרת (ניתן לבצע חילוף גם ליותר משני איברים) וכמו כן אין שום הבדל אם נבצע את הפעולות בסדר כזה או אחר (ניתן לבצע קיבוץ גם ליותר משני איברים), חשוב לשים לב לכך שנדרשים חילוף וקיבוץ יחדיו אך אחד מהם לבדו אינו מספיק. דוגמה:\[
\begin{array}{cccc}
a+b+c+d: & ={\color{red}\left(\left(a+b\right)+c\right)+d} & =\left(a+b\right)+\left(c+d\right) & =\left(a+b\right)+\left(d+c\right)\\
& ={\color{red}\left(\left(a+b\right)+d\right)+c} & =\left(a+\left(b+d\right)\right)+c & =\left(a+\left(d+b\right)\right)+c\\
& ={\color{blue}\left(\left(a+d\right)+b\right)+c} & =\left(a+d\right)+\left(b+c\right) & =\left(a+d\right)+\left(c+b\right)\\
& ={\color{blue}\left(\left(a+d\right)+c\right)+b} & =\left(a+\left(d+c\right)\right)+b & =\left(a+\left(c+d\right)\right)+b\\
& ={\color{green}\left(\left(a+c\right)+d\right)+b} & =\left(a+c\right)+\left(d+b\right) & =\left(a+c\right)+\left(b+d\right)\\
& ={\color{green}\left(\left(a+c\right)+b\right)+d}
\end{array}
\]אלה שש הדרכים לסדר את החיבור של \(a,b,c,d\) כש-\(a\) בהתחלה, בעמודה הצבועה ניתן לבצע חילוף בסוגריים הראשונים ולקבל אותיות אחרות בהתחלה ואח"כ לבצע את כל הפעולות הנ"ל כדי לקבל את שאר הדרכים לסדר את החיבור של \(a,b,c,d\).
\(\clubsuit\)
כשלמדנו ביסודי על חוקי החילוף והקיבוץ שאלתי את עצמי לא פעם מדוע ניתן לבצע את הפעולות ולסדר את האיברים באיזה סדר שנרצה, נכון, זה אמנם אינטואיטיבי מאד אבל לא קיבלנו הסבר מתמטי לזה3שימו לב שההגדרה של כפל וחיבור כפעולות דו-מקומיות היא לא (רק) המצאה של מתמטיקאים שרוצים להניח כמה שפחות ולקבל כמה שיותר, כך אנחנו (או לפחות אני) באמת חושבים על פעולות אלו ולכן יש לשאלה הזו מקום גם בבית-הספר היסודי., הפסקה שלעיל היא דוגמה כיצד ניתן להוכיח זאת4לעומת הטענה בנפנופי ידיים ש-"זה לא משנה באיזה סדר אתה סוכם" אני כן מקבל את אקסיומות השדה כטענות שאינן מצריכות הוכחה (לכן הן נקראות אקסיומות), שהרי אין זה משנה מאיזה כיוון נמדוד את אורכם המשותף של שולחנות לאחר שהצמדנו אותם זה לזה..
\(\clubsuit\)
מאקסיומות השדה נובע שלכל \(a,b,c\in\MKfield\) מתקיים גם:\[\begin{align*}
\left(a+b\right)\cdot c & =c\cdot\left(a+b\right)=c\cdot a+c\cdot b\\
1\cdot a & =a\\
0+a & =a
\end{align*}\]ובנוסף: אם \(d\in\MKfield\) הוא נגדי של \(a\) אז \(d+a=0\) ואם \(d\in\MKfield\) הוא הופכי של \(a\) (בהנחה ש-\(a\neq0\)) אז \(d\cdot a=1\).
יהי \(\MKfield\) שדה.
1.2 הגדרת חיסור וחילוק
משפט 1.2. יהיו \(p,q,r\in\MKfield\) כאשר \(p\neq0\), קיים \(x\in\MKfield\) יחיד המקיים \(p\cdot x+q=r\).
הוכחה. כדי להוכיח את המשפט נניח שקיים \(x\) כזה, נמצא אותו (ובכך נוכיח שאם קיים \(x\) כזה אז הוא יחיד) ואח"כ נבדוק אם הוא אכן עונה על הדרישות: יהי \(x\in\MKfield\) כך ש-\(p\cdot x+q=r\)5שימו לב: כשאנחנו כותבים כאן "\(-q\)" ו-"\(p^{-1}\)" אנחנו לא אומרים שיש רק נגדי אחד והופכי אחד (כי עוד לא הוכחנו את זה), אלא שקיימים כאלה ואנחנו לוקחים אחד מהם ומסמנים אותו כך.,\[\begin{align*}
& \Rightarrow\left(p\cdot x+q\right)+\left(-q\right)=r+\left(-q\right)\\
& \Rightarrow p\cdot x+\left(q+\left(-q\right)\right)=r+\left(-q\right)\\
& \Rightarrow p\cdot x+0=r+\left(-q\right)\\
& \Rightarrow p\cdot x=r+\left(-q\right)\\
& \Rightarrow p^{-1}\cdot\left(p\cdot x\right)=p^{-1}\cdot\left(r+\left(-q\right)\right)\\
& \Rightarrow\left(p^{-1}\cdot p\right)\cdot x=p^{-1}\cdot\left(r+\left(-q\right)\right)\\
& \Rightarrow1\cdot x=p^{-1}\cdot\left(r+\left(-q\right)\right)\\
& \Rightarrow x=p^{-1}\cdot\left(r+\left(-q\right)\right)
\end{align*}\]מכאן שאם קיים \(x\) כזה אז \(x=p^{-1}\cdot\left(r+\left(-q\right)\right)\) ואכן אם נגדיר \(x:=p^{-1}\cdot\left(r+\left(-q\right)\right)\) נקבל:\[\begin{align*}
{\color{red}p\cdot x+q} & =p\cdot\left(p^{-1}\cdot\left(r+\left(-q\right)\right)\right)+q\\
& =\left(p\cdot p^{-1}\right)\cdot\left(r+\left(-q\right)\right)+q\\
& =1\cdot\left(r+\left(-q\right)\right)+q\\
& =\left(r+\left(-q\right)\right)+q\\
& =r+\left(\left(-q\right)+q\right)\\
& =r+0{\color{red}=r}
\end{align*}\]
\(\clubsuit\)
לשיטה שבה השתמשנו בהוכחה קוראים "שיטת ההפיכה"6המקור היחיד שמצאתי לשם זה הוא הערך "אריאבהטה" (מתמטיקאי הודי) בוויקיפדיה. והיא נלמדת כבר בחטיבת הביניים.
\(\clubsuit\)
בכיתה רז הוכיח קיום (ע"י הגדרת \(x:=p^{-1}\cdot\left(r+\left(-q\right)\right)\) והצבתו בביטוי \(p\cdot x+r\) כדלעיל) ואח"כ הניח שקיימים \(x,y\in\MKfield\) כך ש-\(p\cdot x+q=r=q\cdot y+r\) והראה שהדבר גורר את \(x=y\).
\(\clubsuit\)
בגלל מסקנה זו יש משמעות לסימון \(-a\) עבור \(a\in\MKfield\).
\(\clubsuit\)
מתקיים \(-0=0\).
\(\clubsuit\)
בגלל מסקנה זו יש משמעות לסימון \(a^{-1}\) עבור \(0\neq a\in\MKfield\).
\(\clubsuit\)
מתקיים \(1^{-1}=1\).
\(\clubsuit\)
א"א לחלק ב-\(0\) מפני שלאפס לא יכול להיות הופכי, אם היה הופכי היינו מקבלים סתירה7בהמשך נוכיח שלכל \(a\in\MKfield\) מתקיים \(0\cdot a=a\cdot0=0\).:\[
0=0\cdot0^{-1}=1
\]
בניגוד להגדרת \(0\) ו-\(1\) כאיברים שונים.
מסקנה 1.3. יחידות האיבר האדיש לחיבור יהיו \(a,b\in\MKfield\), אם \(a+b=a\) אז \(b=0\).
מסקנה 1.4. יחידות הנגדי יהיו \(a,b,c\in\MKfield\), אם \(a+b=0\) וגם \(a+c=0\) אז \(b=c\).
מסקנה 1.5. יחידות האיבר האדיש לכפל יהיו \(a,x\in\MKfield\) כאשר \(a\neq0\), אם \(a\cdot x=a\) אז \(x=1\).
מסקנה 1.6. יחידות ההופכי יהיו \(a,b,c\in\MKfield\) כאשר \(a\neq0\), אם \(a\cdot b=1\) וגם \(a\cdot c=1\) אז \(c=b\neq0\).
החיסור יוגדר כחיבור הנגדי: לכל \(a,b\in\MKfield\) נגדיר \(a-b:=a+\left(-b\right)\).
החילוק יוגדר ככפל בהופכי: לכל \(a,b\in\MKfield\) נגדיר \(\frac{a}{b}:=a\cdot b^{-1}\).
הגדרה 1.7. קבוצה \(F\subseteq\MKfield\) תיקרא תת-שדה של \(\MKfield\) אם מתקיימים התנאים הבאים:
\(1\in F\).
\(F\) סגורה לחיבור: לכל \(a,b\in F\) גם \(a+b\in F\).
\(F\) סגורה לכפל: לכל \(a,b\in F\) גם \(a\cdot b\in F\).
\(F\) סגורה להופכי: לכל \(0\neq a\in F\) גם \(a^{-1}\in F\).
1.3 הלימת השוויון לחיבור וכפל
\(\clubsuit\)
במתמטיקה, שוויון בין שני עצמים מציין זהות מוחלטת ביניהם, השוויון הוא יחס המסומן ב-"\(=\)" (ניסוח של ויקיפדיה8ראו ערך "שוויון (מתמטיקה)".); ישנה הגדרה פורמלית ליחס השוויון אך לא למדנו אותה ולקורס שלנו זה מספיק בהחלט.
ממהותו של השוויון מתקיימים גם:
הלימת השוויון לחיבור - לכל \(a,b,c\in\MKfield\) כך ש-\(a=b\) מתקיים \(a+c=b+c\), מחוק החילוף לחיבור נסיק שגם \(c+a=c+b\).
הלימת השוויון לכפל - לכל \(a,b,c\in\MKfield\) כך ש-\(a=b\) מתקיים \(a\cdot c=b\cdot c\), מחוק החילוף לכפל נסיק שגם \(c\cdot a=c\cdot b\).
1.4 דוגמאות
\(\clubsuit\)
הדוגמאות הכי מוכרות לשדות הם: שדה המספרים הרציונליים (\(\MKrational\)), שדה המספרים הממשיים (\(\MKreal\)) ושדה המספרים המרוכבים (\(\MKcomplex\)); \(\MKrational\) הוא תת-שדה של \(\MKreal\) ו-\(\MKreal\) הוא תת-שדה של \(\MKcomplex\). את שני השדות הראשונים (\(\MKrational\) ו-\(\MKreal\)) אנחנו נגדיר היטב כשנעסוק במספרים הממשיים באינפי'1, ועל שדה המרוכבים (\(\MKcomplex\)) כתבתי באריכות בקובץ "המספרים המרוכבים".
\(\:\)
2 טענות נוספות
2.1 התחלה
משפט 2.1. חוקי הצמצום יהיו \(a,b,c\in\MKfield\),
אם \(a+b=a+c\) אז \(b=c\), מחוק החילוף לחיבור נסיק גם שאם \(b+a=c+a\) אז \(b=c\).
נניח ש-\(a\neq0\), אם \(a\cdot b=a\cdot c\) אז \(b=c\), מחוק החילוף לכפל נסיק גם שאם \(b\cdot a=c\cdot a\) אז \(b=c\).
משפט 2.2. לכל \(a\in\MKfield\) מתקיים \(0\cdot a=a\cdot0=0\).
מסקנה 2.7. יהיו \(a,b\in\MKfield\) מתקיים: \(a\cdot a=b\cdot b\) אם"ם \(a=b\) ו/או ש-\(a=-b\), בפרט מתקיים: \(a\cdot a=1\cdot1=1\) אם"ם \(a=1\) ו/או ש-\(a=-1\).
הוכחה. יהיו \(a,b\in\MKfield\), הגרירה משמאל לימין נובעות מסעיף10בטענה 2.4. כדי להוכיח את הגרירות מימין לשמאל נשים לב לכך שמנוסחת הכפל המקוצר השנייה נובע כי:\[
\left(a+b\right)\cdot\left(a-b\right)=a\cdot a-b\cdot b=0
\]ולכן ממשפט 2.3 נובע ש-\(a+b=0\) ו/או \(a-b=0\) ומכאן ש-\(a=-b\) ו/או \(a=b\).
2.2 האם סיימנו? ממש לא!
\(\clubsuit\)
בשלב זה ניתן אולי להשתכנע שכל התכונות של המספרים שאנחנו מכירים נובעות מאקסיומות השדה אך המצב שונה בתכלית, לדוגמה: אנחנו יודעים שעבור שני מספרים \(a\) ו-\(b\) השוויון \(a-b=b-a\) גורר ש-\(a=b\) אך האם ניתן להוכיח זאת ע"י אקסיומות השדה? ננסה ונראה: יהיו \(a,b\in\MKfield\) כך ש-\(a-b=b-a\),\[\begin{align*}
& \Rightarrow\left(a+\left(-b\right)\right)+\left(b+a\right)=\left(b+\left(-a\right)\right)+\left(b+a\right)\\
& \Rightarrow\left(a+\left(-b\right)\right)+\left(b+a\right)=\left(b+\left(-a\right)\right)+\left(a+b\right)\\
& \Rightarrow\left(\left(a+\left(-b\right)\right)+b\right)+a=\left(\left(b+\left(-a\right)\right)+a\right)+b\\
& \Rightarrow\left(\left(a+\left(-b\right)\right)+b\right)+a=\left(\left(b+\left(-a\right)\right)+a\right)+b\\
& \Rightarrow\left(a+\left(-b+b\right)\right)+a=\left(b+\left(\left(-a\right)+a\right)\right)+b\\
& \Rightarrow\left(a+0\right)+a=\left(b+0\right)+b\\
& \Rightarrow a+a=b+b\\
& \Rightarrow a\cdot1+a\cdot1=b\cdot1+b\cdot1\\
& \Rightarrow a\cdot\left(1+1\right)=b\cdot\left(1+1\right)
\end{align*}\]כעת אם היינו יודעים ש-\(1+1\neq0\) היינו יכולים לכפול ב-\(\left(1+1\right)^{-1}\) מימין ולקבל \(a=b\) כנדרש אך כפי שנראה מיד קיימים שדות שבהם \(1+1=0\) ולכן א"א להשלים את ההוכחה בהתבסס על אקסיומות השדה בלבד.
\(\clubsuit\)
ב-\(\MKfield_{2}\) אכן מתקיים \(0-1=-1=1=1-0\) למרות ש-\(0\neq1\).
דוגמה 2.8. נגדיר \(\MKfield_{2}:=\left\{ 0,1\right\} \) עם פעולות החיבור והכפל הבאות:
\(1\)
\(0\)
\(+\)
\(1\)
\(0\)
\(0\)
\(\boldsymbol{{\color{red}0}}\)
\(1\)
\(1\)
\(\:\)\(\:\)
\(1\)
\(0\)
\(\cdot\)
\(0\)
\(\boldsymbol{{\color{red}0}}\)
\(0\)
\(1\)
\(0\)
\(1\)
דוגמה 2.9. הקבוצה \(\MKfield_{2}\) והפעולות "\(+\)" ו-"\(\cdot\)" מקיימות את כל התנאים ולכן \(\MKfield_{2}\) (יחד עם הפעולות הנ"ל) הוא שדה. סימנו באדום את מה שאינו תוצאה ישירה של הגדרת השדה.
2.3 דוגמאות נוספות
דוגמה 2.10. \(\MKfield_{2}\) שייך למשפחה של שדות המסומנים ב-\(\MKfield_{p}\) כאשר \(p\) ראשוני: יהי \(p\in\MKnatural\) מספר ראשוני ונסמן \(\MKfield_{p}:=\left\{ 0,1,\ldots,p-1\right\} \), פעולות החיבור והכפל של \(\MKfield_{p}\) יוגדרו ע"י פעולות החיבור והכפל בשלמים מודולו \(p\) - כלומר נחבר/נכפול את המספרים ב-\(\MKinteger\) וניקח את השארית של חלוקת התוצאה ב-\(p\); לדוגמה ב-\(\MKfield_{7}\) מתקיים \(3\cdot5=15=1\) ו-\(3+5=8=1\) כי \(1\) הוא השארית של חילוק \(15\) ו-\(8\) ב-\(7\).
\(\clubsuit\)
בעצם מה שקורה ב-\(\MKfield_{2}\) הוא כזה: אם ב-\(\MKinteger\) המספר זוגי אז הוא שווה ל-\(0\) ואם הוא אי-זוגי אז הוא שווה ל-\(1\), זו הסיבה לדמיון בין טבלאות החיבור והכפל שלעיל לבין הכללים:
זוגי ועוד זוגי שווה זוגי.
זוגי ועוד אי-זוגי שווה אי-זוגי.
זוגי כפול כל מספר שווה זוגי.
אי-זוגי כפול אי-זוגי שווה אי-זוגי.
\(\clubsuit\)
א"כ שני איברים ב-\(\MKinteger\) יחשבו שווים זה לזה ב-\(\MKfield_{p}\) אם השאריות שלהם בחלוקה ב-\(p\) שוות.
\(\clubsuit\)
כל התכונות של \(\MKfield_{p}\) כשדה מתקבלות מהעובדה שתכונות אלו מאפיינות גם את השלמים10אם שני מספרים שווים זה לזה ב-\(\MKinteger\) ודאי שהם משאירים את אותה שארית בחלוקה ב-\(p\) ולכן הם שווים גם ב-\(\MKfield_{p}\). מלבד אחת: הקיום של מספר הופכי (ב-\(\MKinteger\) קיימים מספרים שונים מ-\(0\) שאין להם איבר הופכי), לכן עלינו להוכיח אותה בפירוש:
הוכחה. יהי \(0\neq a\in\MKfield_{p}\) ונתבונן בקבוצה \(\left\{ 1\cdot a,2\cdot a,\ldots,\left(p-1\right)\cdot a\right\} \), אף אחד מן המספרים בקבוצה אינו מתחלק ב-\(p\) ראשוני ובכל איבר אינו מחלק אף אחד משני המוכפלים, מכאן שאם הקבוצה הנ"ל בגודל \(p-1\) (כלומר אין בהצגתה חזרה על אותו איבר פעמיים) אז קיים \(p>b\in\MKnatural\) כך ש-\(a\cdot b=1\) ב-\(\MKfield_{p}\). נוכיח שזהו אכן המצב: יהיו \(c,b\in\MKfield_{p}\) כך ש-\(b\cdot a=c\cdot a\), מכאן ש-\(\left(b-c\right)\cdot a=0\) ב-\(\MKfield_{p}\), כלומר המספר \(\left(b-c\right)\cdot a\) מתחלק ב-\(p\) כשהוא ב-\(\MKinteger\); אנחנו יודעים ש-\(p\) אינו מחלק את \(a\) ולכן נובע מזה ש-\(p\) מחלק את \(b-c\), כלומר השארית של חלוקת \(b\) ב-\(p\) שווה לשארית של חלוקת \(c\) ב-\(p\) ולכן ב-\(\MKfield_{p}\) מתקיים \(b=c\), א"כ אין בקבוצה הנ"ל חזרות.
\(\clubsuit\)
בניגוד ל-\(\MKrational\), \(\MKreal\) ו-\(\MKcomplex\) שדה מהצורה \(\MKfield_{p}\) הוא שדה סופי.
\(\clubsuit\)
המאפיין (נקרא גם המציין או הקרקטריסטיקה) של שדה הוא המספר הראשון בסדרה:\[
{\color{red}1},{\color{blue}1+1},{\color{green}1+1+1},{\color{orange}1+1+1+1}\ldots
\] ששווה ל-\(0\) בשדה (כלומר זהו המספר הטבעי הקטן ביותר ששווה לאפס בשדה), עבור שדות שבהם אף אחד מן המספרים הללו אינו אפס אומרים שהמאפיין של השדה הוא \(0\).
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );